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論文：對預(yù)防性維護與備件管理聯(lián)合數(shù)學(xué)優(yōu)化模型研究
本文是由上傳的：預(yù)防性維護與備件管理聯(lián)合數(shù)學(xué)優(yōu)化研究。
摘 要：預(yù)防性維修需要一定數(shù)量備件庫存。若庫存?zhèn)浼䲠?shù)少于預(yù)防性維修周期內(nèi)所需備件數(shù)，那么在缺失備件到貨前，待修系統(tǒng)將經(jīng)歷非必要停機，生產(chǎn)遭受非必要損失。另外，若庫存?zhèn)浼䲠?shù)量大于預(yù)防性維修周期內(nèi)所需備件數(shù)量，會導(dǎo)致非必要的備件庫存費用。理想狀態(tài)是庫存?zhèn)浼䲠?shù)量恰等于預(yù)防性維修周期內(nèi)所需備件數(shù)。然而，故障（維修）次數(shù)是一個隨機變量，使得確定備件確切數(shù)量變得困難。本文在前輩所建模型的基礎(chǔ)上，利用更新函數(shù)以及數(shù)學(xué)分析手段，討論如何確定預(yù)防維修周期初始，最優(yōu)庫存?zhèn)浼䲠?shù)量，繼而使得整個周期內(nèi)總費用最��；并對基于最小停產(chǎn)損失的預(yù)防性維護體系優(yōu)化模型進行研究。
關(guān)鍵詞：預(yù)防性維護；備件管理；聯(lián)合優(yōu)化；可靠性優(yōu)化
Abstract： Preventive maintenance needs a certain amount of spare parts inventory. If the spare parts inventory less than the preventive maintenance cycle required， so before the unavailable items arrival， the system will undergo unnecessary downtime， bring unnecessary production losses. In addition， if the spare parts inventory is greater than the preventive maintenance cycle required， will lead to unnecessary spare parts inventory costs. Spare parts inventory quantity equaling to the required amount of spare parts in the preventive maintenance cycle is ideal. However， fault （maintenance） is a random variable； make it difficult to determine the exact amount of spare parts. In this paper， on the basis of predecessors and the existing model， using the function and mathematical analysis method， study how to determine the optimal amount of spare parts inventory at the start of preventive maintenance period， then get the whole cycle minimum total cost. And research the optimization model of the minimum loss preventive maintenance system.
Key Words： Preventive Maintenance， Spare-parts Management， Joint Optimization， Reliability Optimization
1 引言
庫存管理作為一項重要研究內(nèi)容，把它和維護策略相聯(lián)合研究已經(jīng)受到國際維護領(lǐng)域極大關(guān)注，單從21世紀(jì)初的五年中，接連有十余篇國際著名期刊（例如 IEEE Transactions，IIE Transactions等）報道學(xué)者們的研究成果。聯(lián)合研究首先可以得到全局最優(yōu)，而不像局部最優(yōu)。另外，研究表明，聯(lián)合研究往往會較大地節(jié)約成本，減少費用。
2003年，Brezavscek & Hudoklin[1]建立了庫存?zhèn)浼驮O(shè)備零件批量更換聯(lián)合優(yōu)化策略之解析形式數(shù)學(xué)模型，其中決策變量為成批更換周期和最大庫存量。該模型將訂貨提前期固定，對周期維護和庫存?zhèn)浼?lián)合優(yōu)化問題進行了深入研究，給出了聯(lián)合模型的解析形式，提供了一個解決維護聯(lián)合優(yōu)化問題的新途徑，并將研究成果成功應(yīng)用于歐洲電氣火車部件維護和庫存聯(lián)合管理上。
流程型生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠度在頗大程度上受其結(jié)構(gòu)、材料質(zhì)量及其構(gòu)成零部件的可靠度影響，但系統(tǒng)之可用度除受以上因素影響外，在某些程度上還與有效的預(yù)防性維修和檢測密不可分[2，3]。以可靠性理論為基礎(chǔ)進行預(yù)防性維修策略優(yōu)化模型研究，在故障時間分布基礎(chǔ)上也許存在一個最優(yōu)的PM，或者基于維修成本最最優(yōu)、或者基于綜合成本最優(yōu)，或稱最小停機時間模型。預(yù)防性維修是在提前確定的時間間隔內(nèi)進行，這些時間間隔是基于歷史數(shù)據(jù)、系統(tǒng)故障時間分布、經(jīng)濟模型或可用度模型來估計的。本文在數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，研究如何確定最優(yōu)的PM時間間隔，使得停機時間最小，繼而停機損失最小。
2 預(yù)防性維修與備品備件數(shù)量優(yōu)化模型研究
2.1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[4，5]
單位時間內(nèi)總費用表達式：
式中和分別是預(yù)防性更換的費用和故障更換的費用。為更新函數(shù)，可以通過積分更新方程與故障時間分布F（t）求得。
基本更新方程：
更新密度 是的導(dǎo)數(shù)：
即：
或：
式中是時間段 內(nèi)發(fā)生一次更新的概率。對于泊松過程來說更新密度就是泊松比λ。
2.2 優(yōu)化模型研究
設(shè)代表在周期內(nèi)因故障引起的更換次數(shù)，則每個預(yù)防性維護周期需要的備件數(shù)量為。假設(shè)初始備件庫存為L 個，當(dāng)時，當(dāng)預(yù)防性維護周期結(jié)束時，庫存費用恰為零；否則會產(chǎn)生備件儲存或備件缺乏費用（庫存中沒有需要的備件造成的損失）。定義為隨偏離0逐漸遞增之懲罰函數(shù)（Penalty Function）[6]。據(jù)Taguchi、Elsayed， Hsiang給出的損失函數(shù)及Murthy函數(shù)[7]，且設(shè)每個多余備件的存儲費用=每個備件的短缺費用（實際情況可能不同），可將判決函數(shù)g寫為： 因為 是一個隨機變量，所以，判決函數(shù)的預(yù)計值：
即
式中pn是的概率。總費用是兩部分的和：單位時間系統(tǒng)平均費用及與備件數(shù)量相關(guān)之懲罰費用（Penalty Cost）。所以，總費用表達式為：
其中a是一個比例因子，當(dāng)a=0時，無懲罰費用，a值越大，就意味著因備件短缺和過剩引起的懲罰費用越高。明顯，最優(yōu)預(yù)防維護周期tp是a的函數(shù)，最優(yōu)值和可以通過對tp和L求解TC最小值求得。
可寫為：
式中 且 是的方差。所以，
預(yù)防維修周期開始時，其最優(yōu)備件數(shù)量可以通過令求得。
即：
由此表明在預(yù)防性維修周期內(nèi)，最優(yōu)備件數(shù)量須等于預(yù)計維修（故障）數(shù)。
同理，對于給定的a，最優(yōu)預(yù)防維修周期長度可以通過令求解。
式中 ，求解上式可得最優(yōu)值 。
2.3 應(yīng)用舉例引入優(yōu)化模型
在制藥及食品行業(yè)中，對衛(wèi)生等級要求非常高，一些公用設(shè)施例如純水機組、無油壓縮機組等都地非常關(guān)鍵的設(shè)備，因為此類公用設(shè)施停機會導(dǎo)致大面積甚至全廠停產(chǎn)，生產(chǎn)損失會造成很高費用。高速壓縮機的異形雙旋齒葉輪會產(chǎn)生疲勞裂紋。葉輪疲勞壽命可以通過振動疲勞實驗中振幅與頻率的乘積（AF值）來評估。若一個葉輪表現(xiàn)出非常低的AF值，那么應(yīng)當(dāng)更換葉輪以避免裂紋擴展。因為周期性開展疲勞實驗費用昂貴，所以維修人員通常根據(jù)預(yù)防性維修計劃中的時間更換葉輪。當(dāng)預(yù)防性維修周期結(jié)束時更換葉輪的費用是$250，而在期中更換的費用是$1000。相鄰故障之間隔時間用參數(shù)λ=0.005的二階Erlang分布來表達。設(shè)a=0.8，使得總費用最小之最優(yōu)備件數(shù)量及預(yù)防性維修周期。利用模型來求解：
二階Erlang分布的概率密度函數(shù)如下：
預(yù)防維修周期tp中的預(yù)計故障數(shù)：
∴
將以上兩式代入
可得
代入數(shù)值得
求得： （h）
對應(yīng)預(yù)防維修周期內(nèi)之預(yù)計故障數(shù)是0.163。所以，最優(yōu)備件數(shù)量為1.163，這個數(shù)值代表每個運行單元的備件數(shù)量。
3 基于最小停產(chǎn)損失的預(yù)防性維護體系優(yōu)化模型研究
對于流水線生產(chǎn)系統(tǒng)，某些企業(yè)因為停機導(dǎo)致產(chǎn)量損失，相比較維修費用而言產(chǎn)量損失更加重要，通常采用周期性檢測與預(yù)防性維修相結(jié)合的維護方法，檢測能夠及時地給決策部門提供準(zhǔn)確的信息。此類情況下，檢測是周期性地進行的。當(dāng)檢測到部件故障時，對其進行即時維修或安排預(yù)防性更換。假如在檢測期間沒有檢測到部件故障，那么檢測期間的停機將導(dǎo)致產(chǎn)量損失費用（相比產(chǎn)量損失檢測費用可忽略）。顯然，頻繁檢測可以減少故障損失費用但會增加非故障停機損失，繼而影響總費用。因此需要一個檢測計劃，使得檢測到故障時其預(yù)計費用最小，并且，假設(shè)檢測到故障時要更換部件，也應(yīng)使費用最少。
3.1 優(yōu)化模型研究
試考慮一系統(tǒng)，通過周期性檢測來判斷是否需要進行維修或更換，同時在必要之情況下對其進行預(yù)防性維修。假設(shè)在檢測后，組件和檢測前比壽命相同之概率為p，和新組件壽命相同之概率為q（Nakagawa，1984）[9]。需要估計該部件的故障前工作時間及故障前預(yù)計檢測次數(shù)，需要估計總預(yù)計費用及檢測到故障時的單位時間內(nèi)預(yù)計費用，還需要求解使預(yù)計費用最小之最優(yōu)檢測次數(shù)。
式中，式中第一項表示至系統(tǒng)故障時第次與第j次之間的平均時間，第二項表示系統(tǒng)第j次檢查后進行更新之平均時間，在此之后系統(tǒng)便故障。通過對上式求解可得：
假如，則在每次檢測后，系統(tǒng)都如新，且有
相反，如果，則在每次檢測后，系統(tǒng)壽命不變，則：
由此，故障前之預(yù)計檢測次數(shù)可以通過下式獲得
當(dāng)時，
當(dāng)時，
將和代入上式可得：
即
從上式可以看出，，表明其存在一有限的最優(yōu)值使得總預(yù)計費用最小。Nakagawa（1984）給出：
因此
當(dāng)檢測到故障時，使單位時間內(nèi)預(yù)計費用最小之最優(yōu)檢測時間間隔。此種情況下，由可得：
即
的極限為且。結(jié)合上式及一個給定的T值，對遞增型故障率來說單位時間內(nèi)預(yù)計費用是p的增函數(shù)�！�
3.2 優(yōu)化模型應(yīng)用舉例
在制藥及食品行業(yè)中，對衛(wèi)生等級要求非常高，一些公用設(shè)施例如純水機組、無油壓縮機組等都地非常關(guān)鍵的設(shè)備，因為此類公用設(shè)施停機會導(dǎo)致大面積甚至全廠停產(chǎn)，生產(chǎn)損失人造成很高費用，所以需要對機組進行深度檢測；具體地說，以AtlasCopco壓縮機為例將檢測異形雙旋齒高速輪軸的潛在裂紋。輪軸的故障時間服從故障率為0.0005/h的指數(shù)分布。每次檢測費用為$120，未檢測到故障所造成損失為$80，利用模型進行求解：
因為故障時間服從指數(shù)分布，則，對于p的任何值，可簡化為：
可簡化為：
使檢測到故障時，總預(yù)計費用最小之最優(yōu)檢測時間間隔，是使最小的值，即
求得 。
利用可求得使檢測到故障時候，單位時間內(nèi)預(yù)計費用最小的最優(yōu)檢測時間間隔為
可求得 。
因此，應(yīng)該以固定的77 h為周期，定期對雙旋齒輪軸進行檢測。
4 小結(jié)
本文主要針對設(shè)備維護與備件庫存整合優(yōu)化策略和模型中關(guān)鍵問題展開研究，通過研究，豐富并發(fā)展了設(shè)備維護優(yōu)化的內(nèi)涵和外延。備件庫存和傳統(tǒng)維護策略的集成優(yōu)化研究，其中維護涉及到定期維護（成批更換維護策略）和事后維護（故障后更換策略）。分析了訂貨提前期確定的Brezavscek聯(lián)合維護策略和模型，以一個制藥企業(yè)空壓設(shè)備雙旋齒葉輪失效實例說明模型應(yīng)用，最后基于最小停產(chǎn)損失的預(yù)防性維護體系優(yōu)化模型研究，并實例說明模型應(yīng)用。
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